S mata Sunart. Tm ma Majhmatik n Panepist mio Kr thc. epiblèpwn kajhght c Jeìdouloc Garefalˆkhc. To Je rhma Twn Pr twn Arijm n Se. Gi rgoc N.

Transcript

1 Sunart Μεταπτυχιακή Εργασία Γιώργος Ν. Καπετανάκης Tm ma Majhmatik n Panepist mio Kr thc 10 Απριλίου 2009 Sunart epiblèpwn kajhght c Jeìdouloc Garefalˆkhc

2 Perigraf 1 Σώματα συναρτήσεων Πρώτοι Διαιρέτες Sunart 2 Το θεώρημα Μερικές συνέπειες του θεωρήματος 3 Επεκτάσεις σωμάτων συναρτήσεων Επεκτάσεις σταθερού σώματος 4 Η συνάρτηση ζ του Riemann Το θεώρημα Το θεώρημα των πρώτων αριθμών

3 S ma Εστω K σώμα και F επέκτασή του. Αν υπάρχει x F, με x μη αλγεβρικό πάνω από το K, τέτοιο ώστε η επέκταση F/K(x) να είναι πεπερασμένη, τότε ονομάζουμε την επέκταση F/K σώμα συναρτήσεων (function field). Το σώμα K F είναι το σώμα σταθερών του F/K. Αν F = K(x), τότε έχουμε το ρητό σώμα συναρτήσεων. Αν K = F, (με F πεπερασμένο), τότε έχουμε το ολικό (global) σώμα συναρτήσεων. Σημείωση: Δεχόμαστε ότι K = K F. Sunart

4 Diakrit apotðmhsh Εστω F/K σ.σ.. Λέμε ότι μια συνάρτηση u : F Z { } είναι διακριτή αποτίμηση αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες. 1 u(x) = x = 0. 2 u(xy) = u(x) + u(y) για κάθε x, y F. 3 u(x + y) min{u(x), u(y)} για κάθε x, y F. 4 Υπάρχει z F τέτοιο ώστε u(z) = 1. 5 u(a) = 0 για κάθε a K \ {0}. Η ιδιότητα 3 ονομάζεται τριγωνική ανισότητα. Λήμμα (Ισχυρή Τριγωνική Ανισότητα) Εστω u διακριτή αποτίμηση του σ.σ. F/K και x, y F με u(x) u(y). Τότε u(x + y) = min{(u(x), u(y)}. Sunart

5 DaktÔlioi apotðmhshc Ενας δακτύλιος αποτίμησης (valuation ring) του σ.σ. F/K είναι ένας δακτύλιος O, για τον οποίο K O F και αν z F, τότε z O ή z 1 O. Αν ο O είναι δακτύλιος αποτίμησης του F/K, τότε 1 ο O είναι τοπικός δακτύλιος, 2 αν P το (μοναδικό) μεγιστικό ιδεώδες του, τότε το P είναι κύριο και 3 αν P = to, τότε κάθε z F \ {0} έχει μοναδική αναπαράσταση της μορφής z = t n u, με n Z και u O. Sunart

6 Ενας πρώτος (prime ή place) P του σ.σ. F/K είναι το μεγιστικό ιδεώδες κάποιου δακτύλιου αποτίμησης. Με P F συμβολίζουμε το σύνολο των πρώτων του F/K. 1 Οι δακτύλιοι αποτίμησης και οι πρώτοι βρίσκονται σε 1-1 αντιστοιχία. 2 Εχει νόημα ο όρος δακτύλιος αποτίμησης του πρώτου P και ο συμβολισμός O P := {z F z 1 / P }. 3 Το P είναι μεγιστικό ιδεώδες του O P, άρα το O P / P είναι σώμα. Ακόμα P K = {0} και αφού K O P το K θα είναι υπόσωμα του O P / P. 4 Υπάρχουν άπειροι το πλήθος πρώτοι. Sunart

7 Megèjh pou qarakthrðzoun touc pr touc Εστω P P F. Ορίζουμε ως τάξη στον P τη συνάρτηση ord P : F Z { }, που αν P = to, z F \ {0} και z = t n u, με u O P, τότε ord P (z) := n, και ord P (0) :=. Sunart Από τα προηγούμενα, ο ορισμός της τάξης είναι καλός. Η συνάρτηση ord P είναι διακριτή αποτίμηση του F/K. Εστω P P F, ο αριθμός deg P := [ O P / P : K ] ονομάζεται βαθμός του P. Από τα προηγούμενα, ο ορισμός του βαθμού είναι καλός. Αν P P F και x P \ {0}, τότε deg P [F : K(x)] <.

8 Η ελεύθερη αβελιανή ομάδα που παράγεται από τους πρώτους ενός σ.σ. ονομάζεται ομάδα διαιρετών (divisor group) και συμβολίζεται ως D F. Τα στοιχεία της ομάδας διαιρετών ονομάζονται διαιρέτες (divisors). Ο τυχαίος διαιρέτης είναι ένα τυπικό άθροισμα της μορφής D = P P F a P P με a P Z και a P = 0 για σχεδόν όλους τους P. Ως τάξη του D στον P (συμβ. ord P (D)) ονομάζουμε το a P. Μπορεί να οριστεί μερική διάταξη με τον προφανή τρόπο. Ως βαθμό του διαιρέτη D ορίζουμε τον αριθμό deg F D := P P F ord P (D) deg P. Sunart

9 pìlwn, riz n, kôrioi Oi orismoð Εστω x F \ {0}. Ορίζουμε ως διαιρέτη ριζών του x τον (x) 0 := ord P (x)p, ord P (x)>0 διαιρέτη πόλων του x τον (x) := ( ord P (x))p και ως ord P (x)<0 κύριο διαιρέτη του x τον (x) := (x) 0 (x). Sunart Σημείωση: Οι ορισμοί είναι καλοί, αφού αν x F \ {0}, τότε ord P (x) > 0 και ord P (x) < 0 για πεπερασμένα το πλήθος P P F.

10 pìlwn, riz n, kôrioi Idiìthtec Θεώρημα Για x F \ K ισχύει ότι deg(x) 0 = deg(x) = [F : K(x)]. Πόρισμα Αν x F \ {0}, τότε deg(x) = 0. Το σύνολο P F := { (x) x F \ {0} } ονομάζεται ομάδα κύριων διαιρετών (group of princpal divisors) του F/K. Η πηλικοομάδα C F := D F / PF ονομάζεται ομάδα κλάσεων διαιρετών. Δύο διαιρέτες D, D D F ονομάζονται ισοδύναμοι αν [D] = [D ] (συμβ. D D ). Sunart Σημείωση: Οι παραπάνω ορισμοί είναι καλοί.

11 L q roi Αν A D F, τότε L(A) := { x F (x) A } {0}. Sunart Πρόταση Εστω A D F. Τότε 1 το L(A) είναι πεπερασμένης διάστασης K-διανυσματικός χώρος, 2 αν A D F με A A, τότε L(A) = L(A ) ως διανυσματικοί χώροι, 3 L(0) = K και 4 αν A < 0 τότε L(A) = {0}.

12 Diˆstash Sunart Αν A D F, ο ακέραιος l(a) := dim K L(A) ονομάζεται διάσταση του A. Αν A, A D F με A A, τότε l(a) = l(a ) και deg A = deg A. Αν A D F με deg A 0 τότε l(a) = 0 εκτός αν A 0, οπότε l(a) = 1.

13 To gènoc Πρόταση Υπάρχει κάποια σταθερά γ Z τέτοια ώστε για κάθε A D F να ισχύει deg A l(a) γ. Sunart Το γένος (genus) του σ.σ. F/K ορίζεται ως g := max{deg A l(a) + 1 A D F }. Ο ορισμός είναι καλός. Αν g το γένος του F/K, τότε g 0. (Ανισότητα Riemann) Για κάθε διαιρέτη A έχουμε ότι l(a) deg A + 1 g.

14 Sunart Θεώρημα () Υπάρχει μια κλάση W F C F τέτοια ώστε αν W W F, τότε για κάθε A D F να ισχύει ότι l(a) = deg A + 1 g + l(w A). Η κλάση W F ονομάζεται κανονική κλάση (canonical class). Ενας W W F ονομάζεται κανονικός διαιρέτης (canonical divisor).

15 tou Πρόταση Αν W W F, τότε deg W = 2g 2 και l(w ) = g. Πρόταση Αν deg W = 2g 2 και l(w ) g, τότε W W F. Θεώρημα (Riemann) Αν g το γένος του F/K και A D F με deg A 2g 1, ισχύει ότι l(a) = deg A + 1 g. Σημείωση: Το φράγμα του θεωρήματος Riemann δεν βελτιώνεται, π.χ. για A W F. Sunart

16 Αν F/K σ.σ., L αλγεβρική επέκταση του F και E := K L, τότε το L/E είναι επέκταση του F/K (συμβ. F L). Αν [L : F ] <, τότε η F L είναι πεπερασμένη επέκταση. Ο παραπάνω ορισμός είναι καλός και εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με πεπερασμένες επεκτάσεις. peperasmènh F uperbatik bajmoô 1 L K uperbatik bajmoô 1 E peperasmènh Sunart Sq ma: To L/E eðnai peperasmènh epèktash tou F/K.

17 Oi pr toi stic epektˆseic Εστω P P F και P P L. Λέμε ότι ο P βρίσκεται πάνω (lies above) από τον P (συμβ. P P ) αν O P = O P F και P = P O P. Πρόταση Αν P και P όπως πριν, τότε 1 το O P / P είναι O P / P -διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης, 2 P O P = P e για κάποιον ακέραιο e 1, 3 για κάθε P P L υπάρχει μοναδικό P P F με P P και 4 για κάθε P P F υπάρχει τουλάχιστον ένα, αλλά πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία του P L που βρίσκονται πάνω από αυτό. Sunart

18 Megèjh pou qarakthrðzoun tic epektˆseic Αν P P ως σχετικό βαθμό (relative degree ή inertia degree) των P και P ορίζουμε τον αριθμό f(p/p ) := [ ] O P O / P : P / P και ως δείκτη διακλάδωσης (ramification index) των P και P (συμβ. e(p/p )) τον ακέραιο e εκείνο που P O P = P e. Θεώρημα (Θεμελιώδης Ταυτότητα) Αν P P F, {P 1,..., P m } P L οι πρώτοι του L/E που βρίσκονται πάνω από τον P, e i := e(p i /P ) και f i := f(p i /P ), τότε m e i f i = [L : F ]. i=1 Sunart

19 stajeroô Sunart Αν E αλγεβρική επέκταση του K και L = EF, τότε έχουμε μια επέκταση σταθερού σώματος. Πρόταση Το E είναι το σώμα σταθερών του EF. Το γένος, g, του F/K είναι ίσο με το γένος, g, του L/E.

20 Oi pr toi stic epektˆseic stajeroô Λήμμα Αν P P F, τότε οι πρώτοι του L/E που βρίσκονται πάνω από τον P αδρανούν. Sunart Πρόταση Εστω K τέλειο, P P F και O P / P = K[θ]. Αν h(x) := Irr(θ, K) και h(x) = h 1 (X) h m (X) η ανάλυση του h(x) σε ανάγωγα στο E[X], τότε υπάρχουν ακριβώς m το πλήθος πρώτοι του L/E που βρίσκονται πάνω από τον P. Αν {P 1,..., P m } οι πρώτοι αυτοί, τότε (ενδεχομένως μετά από κάποια αναδιάταξη) για i = 1,..., m ισχύει ότι deg L P i = deg h i (X).

21 Oi diairètec kai oi pr toi se olikˆ s mata Σημείωση: Από εδώ και πέρα θα ασχολούμαστε με το ολικό σ.σ. F/F και επεκτάσεις του. Θεωρούμε ότι q := F, p := char F και g το γένος του F/F. Θέτουμε a n := {P P F deg P = n} και b n := {A D F deg A = n και A 0}. Ισχύει ότι b n < για κάθε n. Θεώρημα (F. K. Schmidt) Ισχύει ότι a 1 > 0. Sunart

22 H sunˆrthsh z ta tou Riemann Αν NA := q deg A, ορίζουμε τη συνάρτηση ζήτα ως ζ F (s) := NA s, s C. A D F,A 0 1 Γράφεται και με τη μορφή γινομένου Euler ως ζ F (s) = (1 q ns ) an. n=1 2 Αν u := q s γράφεται ως δυναμοσειρά ως Z F (u) := ζ F (s) = b n u n. n=0 3 Ολες αυτές οι εκφράσεις συγκλίνουν απόλυτα για Rs > 1. 4 Επεκτείνεται αναλυτικά στο C με απλούς πόλους στα σημεία s = 0 και s = 1. Sunart

23 H sunˆrthsh z ta tou Riemann Kˆpoiec idiìthtec Πρόταση Υπάρχει κάποιο L F (u) Z[u], με deg L F = 2g τέτοιο ώστε ζ F (s) = L F (q s ) (1 q s )(1 q 1 s ). Ακόμα L F (0) = 1, L F (1) 0 και L F (0) = a 1 1 q. Το πολυώνυμο L F ονομάζεται L-πολυώνυμο του F/F. Θεώρημα (Συναρτησιακή Εξίσωση της ζ) Για κάθε s C έχουμε ότι q (g 1)(1 s) ζ F (1 s) = q (g 1)s ζ F (s). Sunart

24 Το θεώρημα είναι η υπόθεση Riemann για σ.σ.. Διατυπώθηκε από τον Artin ως εικασία και αποδείχθηκε από τον Weil (1948). Οι αποδείξεις του Weil είναι πολύπλοκες, αλλά η απόδειξη του Bombieri (1973) είναι αρκετά πιο απλή. Μέρος αυτής της απόδειξης θα παρουσιάσουμε. Θεώρημα () Ολες οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα βρίσκονται πάνω στην ευθεία {s C Rs = 1/2}. Τέλος, L F (u) = 2g j=1 (1 ρ ju) και s ρίζα της ζ F ανν q s ρίζα του L F. Ετσι μια εναλλακτική διατύπωση του θα ήταν ότι ρ j = q 1/2. Sunart

25 H apìdeixh tou jewr matoc Ta prokatarktikˆ Θέτουμε F r := F F q r, οπότε το σ.σ. F r /F q r είναι επέκταση σταθερού σώματος του F/F. Ισχύουν τα παρακάτω λήμματα. Λήμμα Εστω m Z >0. Το θεώρημα ισχύει για το F/F ανν ισχύει για το F m /F q m. Λήμμα Αν υπάρχει κάποιο c R τέτοιο ώστε για κάθε r 1 να ισχύει ότι a Fr,1 (q r + 1) cq r/2, τότε ισχύει το θεώρημα για το F/F. Sunart

26 H apìdeixh tou jewr matoc H apìdeixh tou 2 ou l mmatoc Για κάθε r 1 ισχύει ότι L Fr (u) = 2g i=1 (1 ρr i u) L F r (0) = 2g a Fr,1 (q r + 1) = 2g i=1 ρr i 2g cq r/2. Θέτουμε H(t) := 2g i=1 ρ it 1 ρ it i=1 ρr i i=1 ρr i και µ := min{ ρ 1 i 1 i 2g} και η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς της H(t) είναι ακριβώς µ. Για t < µ έχουμε ότι H(t) = 2g (ρ i t) r = i=1 r=1 ( 2g ρ r i r=1 i=1 Ομως, η τελευταία δυναμοσειρά θα συγκλίνει για t < q 1/2, άρα q 1/2 µ, δηλαδή q 1/2 ρ i για κάθε i. Τέλος, η συναρτησιακή εξίσωση της ζ δίνει ότι 2g j=1 ρ j = q g, οπότε ρ j = q 1/2 για κάθε j. ) t r. Sunart

27 H apìdeixh tou jewr matoc To ˆnw frˆgma Πρόταση Αν q τετράγωνο > (g + 1) 4, τότε a 1 (q + 1) < (2g + 1) q. Απόδειξη. 1 Εστω Q P F, με deg Q = 1. Θέτουμε m := q 1, n := 2g + q και r := m + n q. Θεωρούμε το χώρο L := L(mQ)L(nQ) q, που αποτελείται από όλα τα αθροίσματα της μορφής q x ν yν, με x ν L(mQ) και y ν L(nQ), δηλαδή L L(rQ). 2 Αποδεικνύεται ότι υπάρχει κάποιο x L τέτοιο ώστε όλοι οι πρώτοι του F/F βαθμού 1, εκτός του Q, να είναι ρίζες του, άρα (x) 0 P P F, deg P =1, P Q P, δηλαδή deg(x) 0 a Ακόμα (x) rq, δηλαδή deg(x) r. Ομως r = q 1 + (2g + 1) q και deg(x) 0 = deg(x). Sunart

28 H apìdeixh tou jewr matoc To kˆtw frˆgma Sunart Πρόταση Υπάρχουν σταθερές c 1, c 2, που εξαρτώνται αποκλειστικά από το F/F, τέτοιες ώστε αν q τετράγωνο και q > c 1, τότε για κάθε r 1 a Fr,1 (q r + 1) > c 2 qr. Η απόδειξη της πρότασης χρησιμοποιεί επεκτάσεις Galois που δεν μελετήσαμε.

29 H apìdeixh tou jewr matoc To tèloc thc apìdeixhc 1 Συνδυάζοντας τα δύο προηγούμενα φράγματα και το γεγονός ότι το γένος, στις επεκτάσεις σταθερού σώματος, μένει αναλλοίωτο, παίρνουμε ότι υπάρχουν s, c τέτοια ώστε για κάθε r, που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του s, ισχύει ότι a Fr,1 (q r + 1) cq r/2. 2 Από το 2 o λήμμα των προκαταρκτικών, αυτό συνεπάγεται ότι ισχύει το για το F s /F q s. 3 Από το 1 o λήμμα των προκαταρκτικών, το τελευταίο μας αποδεικνύει το για το F/F. Sunart

30 Θεώρημα (Πρώτων Αριθμών) a N = qn N + O ( q N/2 N ). Το κλασικό θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι ασθενέστερο. Το αντίστοιχο στην κλασική Θεωρία Αριθμών είναι ισοδύναμο με την υπόθεση Riemann και είναι ανοιχτό. Στην απόδειξη χρησιμοποιούμε το θεώρημα, αλλά αποδεικνύεται και ένα ασθενέστερο αποτέλεσμα και χωρίς αυτό. Sunart

31 H apìdeixh Ισχύει ότι L F (u) = 2g j=1 (1 ρ ju), άρα Q 2g j=1 (1 ρju) (1 u)(1 qu) = d=1 (1 ud ) a d. Αυτό μετά από πράξεις δίνει ότι u k + (qu) k k=1 k=1 2g (ρ j u) k = da d u dk, j=1 k=1 d=1 k=1 δηλαδή 1 + q N 2g j=1 ρn j = d N da d και από τον τύπο αντιστροφής Möbius Na N = d N µ(d)q N/d + µ(d) d N 2g ρ N/d j j=1. Ομως d N µ(d)qn/d = q N + O(q N/2 ) και από ρ j = q 1/2, άρα ( d N µ(d) 2g ) j=1 ρn/d j = O(q N/2 ). Sunart

32 Endeiktik bibliografða Bombieri Enrico, Counting Points on Curves Over Finite Fields, Séminaire Bourbaki, n o 430, p , Rosen Michael, Number Theory in Function Fields, Springer, New York, Schmidt Friedrich Karl, Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p, Mathematische Zeitschrift, vol. 33, n o 1, p. 1 32, Stichtenoth Henning, Algebraic Function Fields and Codes, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Weil André, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s en déduisent, Hermann, Paris, Sunart Sac EuqaristoÔme!